שכותב אדם אחד על מקלדת מחשב בנקודה אחת בעולם. בשעה טובה, הודעת דואר אלקטרוני חדשה נהרתה. האותיות מתורגמות לביטים - שני ערכים שהמחשב יכול להתמודד איתם, 0 ו־1. אלה הופכים לאותות אלקטרוניים ומשוגרים למחשב אחר בנקודה אחרת בעולם – שיכולה להיות גם בחדר הסמוך. המחשב השני, דובר שפת הביטים בעצמו, מקבל את האותות, מתרגם אותם לטקסט, והנה הגיע המייל ליעדו והנמען מסוגל לקרוא אותו בדיוק כפי שנכתב. או שלא.

הרבה לפני שריי תומלינסון השתעשע ברעיון של העברת קבצים בין שני מחשבים מרוחקים, והפך לאבי הדואר האלקטרוני, התחבטו מדענים בשאלה איך להתמודד עם שיבושים שאורבים למסרים בדרכם ועושים בהם שמות. "הטבע מלא רעשים", מסבירה לי פרופ' אירית דינור ממכון ויצמן למדע. "בתוך הטבע יש כל הזמן שגיאות, שריטות, רעש קוסמי, ולכן נדרש 'נוהל תיקון שגיאות'. אחד השימושים הראשונים בנוהל כזה היה כששלחו חלליות לחלל וניסו לתקשר איתן, אבל גלי קרינה קוסמית פגמו בתקשורת. שיבושים קורים גם כי מחשבים מתחממים או מעלים אבק, וכך משהו במידע המועבר נפגם".

המונח שדינור הזכירה, נוהל תיקון שגיאות ‪,)Error correction code(‬ הוא למעשה שיטה מתמטית־הנדסית להעברת מידע באופן מהימן בערוצי תקשורת "רועשים". תת־ענף מתמטי המשתייך לתורת האינפורמציה עוסק בבנייה ובייעול של שיטות כאלה, ומנסה להבטיח ברמת סבירות גבוהה שהודעות יפוענחו נכונה, גם אם ייפלו תקלות בתהליך ההעברה. המתמטיקאי קלוד שאנון ,)2001־1916( מי שנחשב לאבי תורת האינפורמציה, עסק בנושא הזה כבר בעבודות החלוציות שלו. מאז ועד היום נבנו קודים שונים לצורך בדיקה ותיקון של תשדורות, אבל הם לא היו מסוגלים לגלות במהירות את היקף השיבושים בתשדורת ארוכה ולקבוע עד כמה היא פגומה. במשך עשרות שנים ניסו חוקרים לבנות קוד שיתגבר על המגבלות, אבל לא הצליחו לפצח את האתגר. רבים אפילו לא האמינו שניתן לעשות את זה.

שבסופו של דבר העבודה הזאת די אלמנטרית, ומפתיע שלקח ארבע שנים להגיע אליה. עשינו סיבוב ארוך מאוד, התחלנו עם רעיונות הרבה יותר מופשטים, הסתבכנו איתם ופתאום עלינו על קיצור הדרך".

במה שונה המנגנון הרב־ממדי ממה שעשו לפניכם?

"החידוש בעבודה שלנו הוא שהקודים הקודמים התבססו על תורת הגרפים, שהם אובייקטים חד־ממדיים. אנחנו הלכנו לקומה שנייה לא רק באופן מטאפורי. הלכנו לאובייקטים קומבינטוריים גיאומטריים שיש להם עוד ממד. הם לא רק נקודות וקשתות אלא יש להם מלבנים, ולכן הקוד שלנו בנוי על אובייקט דו־ממדי".

כרגע אנחנו מדברים על הישג תיאורטי, מה יכולים להיות השימושים המעשיים של תגלית כזו?

דינור: "זה כמובן עוד חזון רחוק, אבל המשמעות די פשוטה. נכון להיום קוד בא יחד עם תוכנה שמנקה את השגיאות, אבל לוקח לה הרבה זמן לרוץ. אם ייעשה שימוש בקודים בעלי תכונה של בדיקה מקומית מהירה, זה עשוי לחסוך זמן רב בעולם הדיגיטלי שלנו".

הכישלון של המגילות

באי הכנס באיטליה יופתעו ודאי לשמוע שמבחינת אחד החתומים על המאמר המהפכני, העבודה הזו התחילה מקוד יהודי קדום. לובוצקי, שהיה מזוהה עם "תורת החבורות", עשה פנייה חדה לענף אחר לגמרי הודות להתעמקותו במסורה - מערכת הערות שנרשמו בשולי הטקסט המקראי, בכתבי יד עתיקים שהקפידו על דיוק. מטרת המסורה הייתה לשמור על נוסח אחיד ולמנוע נפילת שיבושים בספרי התנ"ך, כשאלה הועתקו ידנית. הערות השוליים ציינו למשל אם מילה מסוימת צריכה להופיע בכתיב מלא או חסר, כמה פעמים בתנ"ך היא נכתבת בצורה זו, האם יש לכתוב "יונתן" או "יהונתן", כמה פסוקים בתנ"ך פותחים במילה מסוימת ועוד. המסורה הקדומה נכתבה כבר בתקופת התלמוד, אבל המסורה שנפוצה ברוב המוחלט של קהילות ישראל היא זו הטבריאנית, שהתגבשה סביב המאה ה־9 בקירוב. בעלי המסורה בטבריה, שהמוכר שבהם היה אהרן בן אשר, הם שהתקינו גם את סימני הניקוד העברי וטעמי המקרא הנהוגים כיום. "כתר ארם צובא", ספר התנ"ך המפורסם שנכתב בטבריה במאה העשירית, נאמן לכל כללי המסורה הטבריאנית. חוקרי המקרא רואים בכתב יד זה את הנוסח המדויק ביותר של התנ"ך, הודות להתאמה

המלאה בין הטקסט עצמו לבין הערות המסורה הנלוות אליו.

לובוצקי החל לחשוב על הקשר בין מסורה למתמטיקה לפני 15 שנה, בעת שניהל תוכנית מחקר במכון ללימודים מתקדמים בפרינסטון. "ביקר אותי שם חברי הקרוב יוסי עופר, שיש לו תואר במתמטיקה וכיום הוא פרופסור לתנ"ך באוניברסיטת בר־אילן. בשבת הוזַמנו לארוחת ערב אצל חבר מבית הכנסת, נתנאל פיש, שהוא פיזיקאי בפרינסטון. הוא לא הכיר לפני כן את יוסי, והתעניין מה הוא עושה בחייו. יוסי השיב לו שהוא חוקר מסורה, וכשהסביר בפרוטרוט מה היא, פיש חייך ואמר: 'הבנתי, מסורה היא בעצם נוהל תיקון שגיאות'. אני זוכר שהתלהבתי מאוד מהתובנה הזאת, שנאמרה חצי בצחוק. זו הייתה הברקה, כי אם חושבים על כך – מסורה היא מערכת שנועדה לשמר טקסט ולמנוע שגיאות כשיבואו להעתיק אותו. המטרה שלה היא לדאוג לאחידות הטקסט בהעברה הבין־דורית".

עופר ולובוצקי, שניהם שומרי מצוות, יצאו לאחר הארוחה להליכה ממושכת בדרך חזור, והם ניצלו אותה כדי לדון בהקבלה שהעלה פיש. "אמרתי לעופר שיהיה מעניין להסתכל על המסורה בעיניים של תורת אינפורמציה מודרנית, ולראות אם אפשר להסיק משהו לגביה כשחושבים עליה כנוהל תיקון שגיאות. זמן לא רב אחרי שחזרנו לארץ, הבן שלי (עשהאל לובוצקי, כיום רופא - י"א) נפצע קשה בקרב בבינת־ג'בייל. באותה תקופה הראש שלי היה במקום אחר. רק אחרי שנתיים־שלוש אמרתי ליוסי שהסיפור הזה עדיין מנקר אצלי. העברתי אז קורס סמינר לתלמידי תואר ראשון, והזמנתי אותו להרצאה האחרונה כדי שידבר על המסורה. מאז הקפדנו לשבת בכל פעם שעתיים או שלוש ולדון בעניין, ולאט־לאט ראינו שאנחנו מגיעים לתובנות חדשות על המסורה".

סיעורי המוחות והלימוד המשותף הולידו מאמר שנכנס לרבעון "תרביץ", כתב־עת שרואה אור מטעם המכון למדעי היהדות באוניברסיטה העברית, ונחשב לאחד החשובים בתחומו. "ואת יודעת מה? אני הכי גאה במאמר הזה", אומר לובוצקי. "כשקיבלתי פרס ישראל וביקשו ממני רשימה של המאמרים המשמעותיים ביותר שכתבתי, הכנסתי גם אותו. זה העולם הבא שלי", הוא צוחק.

"המסורה עושה לטקסט המקראי בדיוק מה שעושה נוהל תיקון שגיאות לתשדורת", נכתב במאמר ההוא. "היא מאריכה את הטקסט המקורי ומוסיפה לו הערות מסורה מסוגים שונים, ובכך היא מאפשרת לשדר ממקום למקום ומדור לדור את הטקסט המקורי, ולתקנו משגיאות הנופלות בו בזמן העתקתו מכתב יד למשנהו".

פעמים רבות. הביאו אותם שוב שוב בכל המקומות הרלוונטיים, והם התקבעו בזיכרון והועתקו, ניתן להם כוח. לא יכול לבוא מישהו ולטעון אחרת".

עדיין נראה לי שיש הבדל מהותי בין שני התחומים: בנוהל תיקון שגיאות מודרני אנחנו מדברים על רעש, שיבוש אקראי, ואילו במסורה מדובר על טעויות של בני אדם - אות שמשתנה בהעתקה למשל, או הכנסת מסורת אחרת.

"בואי נשווה את המסורה למנגנון הגנה אחר: בתעודת הזהות שלנו יש ספרת ביקורת שנועדה לזהות שגיאות. הספרה הזאת נקבעת באופן שמכוון לזהות טעויות אנוש שכיחות, כמו למשל החלפת שתי ספרות סמוכות - במקום 78 אדם יקיש .87 היא לא מגינה מפני כל טעות אקראית, אלא מתמקדת בטעות מסוימת שרוצים להתמודד איתה (אם למשל יוחלפו שתי ספרות מרוחקות יותר זו מזו, ספרת הביקורת לא בהכרח "תתריע" על הטעות – י"א). לזה מנגנון ההגנה מתוכנן. גם המסורה מתייחסת לטעות אנוש שכיחה – למשל, במקומות מסוימים עלולים להוסיף ו' לפני המילה 'כל' או 'אם'. סביר שטעות כזו תקרה, ולכן המסורה משקיעה הרבה משאבים כדי למנוע אותה. מנגנוני ההגנה שמים דגש על נקודות תורפה".

במאמר מציינים עופר ולובוצקי גם מנגנון הגנה קדום שכשל. במסכת קידושין מסופר על פעילות שנועדה להגן על הטקסט המקראי משגיאות: "לפיכך נקראו ראשונים סופרים, שהיו סופרים כל האותיות שבתורה. שהיו אומרים: וא"ו ד'גחון' חציין של אותיות של ספר תורה". כלומר, מניין האותיות שימש כמנגנון הגנה, ובנוסף לכך האות ו' במילה גחון (ויקרא, י"א מ"ב) צוינה כסמן לנוסח האחיד והמדויק, כיוון שהיא אמורה להימצא בדיוק באמצע. אותיות כמו י', ו' ולפעמים ה' יכולות להשתרבב לטקסט גם בלי לפגום במשמעות, אך במקרה כזה, מניין האותיות בספר התורה יהיה אחר וסביר להניח שקו האמצע יזוז. אלא שכבר בימי הגמרא התגלו בעיות בשימוש בנתונים האלה, ואם לקפוץ לשורה התחתונה של דיוני האמוראים וגאוני בבל, האות הנזכרת כבר אינה האות האמצעית. גם מניין האותיות היה מבוסס ככל הנראה על נוסח שונה מזה שהתקבל בסופו של דבר בטבריה ובבבל.

מי שכן הצליח לייצר מנגנון הגנה חזק מאוד, קובעים לובוצקי ועופר, היה הרמב"ם: בהלכות ספר תורה הוא מנה את הפרשיות הסתומות והפתוחות, והצליח ליצור בנושא הזה מסורת אחידה שהתקבעה בקהילות ישראל. "הצלחתו נבעה לא רק ממשקלו וממעמדו בעולם היהודי אלא גם – ואולי בעיקר – משיטת תיקון השגיאות המוצלחת שהפעיל ברשימותיו", נכתב במאמר.

עוד לפני הרמב"ם היו מי שחיברו רשימות כאלה, אבל הם לא הצליחו להטמיע אותן, כיוון שהמנגנון לא היה מספיק יעיל וברשימות עצמן חלו שיבושים. הרמב"ם יצר את הפירוט שלו על בסיס כתר ארם צובא, ועיצב שיטה חדשה לאבטחת המידע. בסוף כל רשימה המפרטת רצף של פרשיות פתוחות או סתומות, הוא לא רק ציין את הסוג שלהן, אלא הוסיף סיכום מספרי - "אחת עשרה פרשיות אלה כולן סתומות", "כולן פתוחות והן שבע פרשיות", וכן הלאה. כך, מי שהעתיק את הרשימות או קיבל רשימה כתובה כזו זיהה מיד אם חלה טעות.

מנגנון האבטחה נוסף היה סיכום של כל אחד מחומשי התורה – למשל, "מניין הפתוחות שלוש וארבעים, והסתומות שמונה וארבעים, הכל אחד ותשעים פרשיות" – וכן סיכום מספרי של פרשיות ספר התורה כולו. ושוב, ניתן להשוות בין המספר לבין הטקסט, ולגלות אם דרוש תיקון. בכמה מקומות יש מחלוקת בנוגע לרשימותיו של הרמב"ם, אבל מסורת הפרשיות שלו היא שהשתרשה, והדבר קרה במידה רבה בזכות חוזקם של המנגנונים.

איך אתה מסכם את הגיחה שלך לעולמות המתמטיקה, שנים רבות אחרי שעזבת את התחום הזה? אני שואלת את עופר לסיום. "תראי, לא הייתה פה מתמטיקה עמוקה מדי, אבל כיוון החשיבה המתמטי בהחלט פתח תובנות חשובות. בעזרתו הגענו להבנה שהיו מנגנונים חלשים ובלתי יעילים, ומנגנונים חזקים שהצליחו. גם בלי לחזור להיות מתמטיקאי, כל זה שינה וחידד את התפיסות שלי לגבי המסורה". ■